Рада 1: Як отримати зворотну матрицю

наука

Рада 1: Як отримати зворотну матрицю

Для кожної невиродженої (з визначником | A |, що не дорівнює нулю) квадратної матриці А існує єдина обернена матриця, що позначається А ^ (- 1), така, що (А ^ (- 1)) А = А, А ^ (- 1 ) = Е.

Інструкція

Е називається одиничною матрицею. Вона складається з одиниць на головній діагоналі - інше нулі. Обчислюється А ^ (- 1) наступним чином (див. Рис.1.). Тут А (ij) - алгебраїчне доповнення елемента а (ij) визначника матриці А. А (ij) отримують видаленням з | A | рядки і стовпці, на перетині яких лежить а (ij), і множенням знову отриманого визначника на (-1) ^ (i + j) .Фактично приєднана матриця - це транспонована матриця з алгебраїчних доповнень елементів А. Транспонування - це заміна стовпців матриці на рядки (і навпаки). Tранспонірованная матриця позначається А ^ T.

Найпростішими є матриці розміру 2х2. Тут будь-який алгебраїчне доповнення - просто протилежний по діагоналі елемент, взятий зі знаком «+», якщо сума індексів його номера парна, і зі знаком «-», якщо непарна. Таким чином, щоб записати зворотну матрицю, На головній діагоналі вихідної матриці, потрібно поміняти місцями її елементи, а на побічної діагоналі - залишити їх на місці, але змінити знак, а потім все поділити на | A |.

Приклад 1. Знайти зворотну матрицю A ^ (- 1), представлену на малюнку 2.

Визначник цієї матриці не дорівнює нулю (| A | = 6)(За правилом Саррюс, воно ж правило трикутників). Це істотно, так як А не повинна бути вироджених. Далі знаходимо алгебраїчні доповнення матриці А і приєднану матрицю для А (див. рис. 3).

При більшої розмірності процес обчислення зворотної матриці стає занадто громіздким. Тому в таких випадках слід вдаватися до допомоги спеціалізованих комп'ютерних програм.

Рада 2: Як знайти матрицю, зворотну даної

Зворотній матриця позначаться А ^ (- 1). Вона існує для кожної невиродженої квадратної матриці А (визначник | A | не дорівнює нулю). Визначальне рівність - (А ^ (- 1)) А = А А ^ (- 1) = Е, де Е - одинична матриця.

Вам знадобиться

- папір;
- ручка.

Інструкція

Метод Гаусса полягає в наступному. Спочатку записується дана за умовою матриця А. Справа до неї додається розширення, що складається з одиничної матриці. Далі виконується послідовне еквівалентне перетворення рядків А. Дія здійснюється до тих пір, поки зліва не утворюється одинична матриця. Матриця, що з'явилася на місці розширеної матриці (праворуч) і буде А ^ (- 1). При цьому варто дотримуватися такої стратегії: спершу необхідно домогтися нулів знизу головної діагоналі, а потім сверху.Данний алгоритм простий при написанні, але на практиці до нього необхідно звикнути. Однак в наслідок ви зможете виконувати більшу частину дій в розумі. Тому в прикладі всі дії будуть виконуватися вкрай докладно (аж до окремого виписування рядків).

зворотний</a> даної "class =" colorbox imagefield imagefield-imagelink "rel =" gallery-step-images "> Приклад. Дана матриця (див. Рис.1). Для наочності в шукану матрицю відразу ж додано її розширення. знайти матрицю, Зворотний даної. Рішення. Всі елементи першого рядка помножте на 2. Отримайте: (2 0 -6 2 0 0). Отриманий результат необхідно відняти від всіх відповідних елементів другого рядка. В результаті у вас повинні бути наступні значення: (0 3 6 -2 1 0). Поділивши цю рядок на 3, отримаєте (0 1 2 -2/3 1/3 0). Запишіть ці значення в новій матриці у другому рядку.

Метою цих операцій є отримання «0» наперетині другого рядка і першого стовпця. Таким же чином слід отримати «0» на перетині третин рядка і першого стовпця, але там уже «0», тому переходите до наступного етапу.Необходімо зробити «0» на перетині третин рядка і другого шпальти. Для цього розділіть другий рядок матриці на «2», а потім віднімете отримане значення з елементів третин рядка. Отримане значення має вигляд (0 1 2 -2/3 1/3 0) - це нова другий рядок.

Тепер слід відняти другий рядок з третьої,а отримані значення розділити на «2». В результаті у вас повинна вийти наступна рядок: (0 0 1 1/3 -1/6 1). В результаті проведених перетворень, проміжна матриця буде мати вигляд (см.ріс.2) Слід етап - перетворення «2», що знаходиться на перетині другого рядка і третього стовпця, в «0». Для цього помножте третій рядок на «2», а отримані значення віднімайте з другого рядка. В результаті нова другий рядок буде містити наступні елементи: (0 1 0 -4/3 2/3 -1).

Тепер помножте третій рядок на «3» і додайтеотримані значення до елементів першого рядка. В результаті отримаєте нову перший рядок (1 0 0 2 -1/2 3/2). При цьому шукана зворотна матриця знаходиться на місці розширення справа (рис.3).